ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ 
ИНСТИТУТ ИНФОРМАТИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ РАО
АДМИНИСТРАЦИЯ ГОРОДСКОГО ОКРУГА ТРОИЦК В ГОРОДЕ МОСКВЕ 
РЕГИОНАЛЬНЫЙ ОБЩЕСТВЕННЫЙ ФОНД НОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ОБРАЗОВАНИИ «БАЙТИК»
АНО «ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБРАЗОВАНИИ» 
 XXV МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
 «ПРИМЕНЕНИЕ НОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ОБРАЗОВАНИИ»  
«ИТО-Троицк-2014»
25-26 июня 2014 года, г.Москва, г.о. Троицк

Исследование зависимости массы человека от роста

Гимназия № 64 города Липецка имени В.А.Котельникова

Исследование зависимости массы человека от его роста

Пыркин Дмитрий Владимирович (alagaster@yandex.ru)

ГИМНАЗИЯ № 64 г. Липецка имени В. А. Котельникова

 

Аннотация

                Актуальной задачей является исследование и анализ зависимости массы человека от его роста и других параметров. Стандартный подход состоит в использовании понятия индекса массы тела [4].

 , 

где        m – масса человека, кг;

               h – рост человека, м;

               I – индекс масс тела,  , .  

Норма I от 18,5  до 25 . Отклонение от нормы в меньшую и большую сторону – недостаток и избыток массы.

1. Математическое моделирование массы тела

Как следует из формулы , масса пропорциональна квадрату роста, но коэффициент пропорциональности индивидуален для каждого человека.

В данной работе будут исследоваться только модели, линейные по параметрам, т.е. модели, имеющие вид

            ,      

где y – отклик,  – некоторая базисная функция,  – некий коэффициент и c – константа.

При исследование рассматривались 5 математических моделей:

1.        ;

2.        ;

3.        ;

4.        ;

5.        .

Здесь – рассчитанная масса в килограммах, x – рост в сантиметрах, z – параметр, показывающий, может ли человек обхватить своё запястье большим и указательным пальцем. z принимает значение 1, если человек может обхватить запястье, иначе 0. Данный параметр позволяет определить соматотип человека. У мезаморфа запястье от 17,8см до 18,9см, если обхват запястья меньше, то человек – эктоморф, а если больше, то эндоморф. Эктоморф – человек с минимальным количеством мышц и жира в организме. Мезоморф – человек у которого преобладают мышцы, процент жира невысок. Эндоморф – человек с большим содержанием жира в организме [5].

Для нахождения параметров применялась формула Алберта [5]

          ,          

где x – псевдообратное решение, A – исходная матрица, построенная по факторам,  A+ - псевдообратная матрица, b – вектор откликов, I – единичная матрица, а y – произвольный вектор. Если положить y=0, то получим нормальное псевдообратное решение

.

Для вычисления пседообратной матрицы использовался итерационный алгоритм Бен-Израиля. При вычислениях задавалась точность 1E-20.

Были собраны данные о росте и массе 20-ти человек, возраст которых составлял около 16 лет. Модель была построена с использованием данных 16-ти человек. Точность была рассчитана на основе величины RMSE

,

где  – отклонение, xi – реальная масса человека, а yi – рассчитанная масса этого человека.

Адекватность была рассчитана аналогично, но с использованием данных оставшихся 4-ёх человек, показатели которых не учитывались при построении моделей. Данные собирались случайным образом.

                В таблице 1 приведены значения расчетов, а также значения точности и адекватности моделей.

 

Таблица 1. Параметры, точность и адекватность моделей

Вид модели

a

b

c

d

Точность

Адекватность

1

  

-19642,917

179,133

-

-

9,038

 

9,342

2

 

0,992

-105,777

-

-

8,470

8,795

3

0,015

-4,160

336,345

-

8,431

6,607

4

0,743

-10,822

-56,477

-

7,236

7,530

5

0,016

-4,916

-11,114

426,897

6,668

5,286

 

 

2. Анализ результатов моделирования

Модель 1 представляет собой гиперболу. Она показала наихудшую точность и адекватность.

Модели, в которых присутствовал параметр z, показали значительно более высокую точность и адекватность, следовательно, данный параметр можно назвать значимым.

Модели параболы и прямой при отсутствии параметра показывают практически одинаковую точность. Однако, с появлением данного параметра разница в точности становиться более существенной.  Адекватность моделей 3 и 5 оказывается заметно выше, чем адекватность моделей 2 и 4.

В таблице 1 модели расположены в порядке увеличения точности, однако адекватность, при увеличении точности, может и уменьшиться. Это видно на примере моделей 3 и 4. Важно, что модель 3 является параболой, в то время как модель 4 прямой.

Проведенное исследовании моделей показало, что и в подходе на основе вычисления индекса массы тела, наиболее адекватной является параболическая зависимость. Модели с параболической зависимостью имеют лучшую точность, чем соответствующие им прямые, и намного более высокую адекватность.

В начале работы было указано, что существует несколько способов расчёта индекса массы тела для людей с разным телосложением. При построение данных моделей такую функции выполнял параметр z, который являлся тем самым коэффициентом пропорциональности.

3. Оценка адекватности на новых данных

Адекватность моделей на новых данных была произведена на основе формулы RMSEдля 5 новых людей.

Таблица 2. Адекватность моделей на новых параметрах

Адекватность

1

11,202

2

11,343

3

11,073

4

8,167

5

7,954

 

 

Как видно из таблицы 2, данные модели на новых людях показывают схожие результаты, что и при оценке адекватности, представленной в табл. 1.

 

Заключение

На основе данных, полученных при анализе моделей, удалось установить следующее:

1)       Масса тела существенно зависит от квадрата его роста;

2)       Важное значение имеет параметр z, показывающий соматотип человека.

Работа выполнена под руководством д.т.н. Сараева П.В.

Список использованных источников
  1. Алберт А. Псевдоинверсия, регрессия и рекуррентное оценивание.– М.: Наука, 1977.– 224 с
  2. Ben-Israel A., Greville T. Generalized Inverses: Theory and Applications.– Canadian Mathematical Society, 2002.– 381 p.
  3. Сараев П.В. Алгоритмы псевдообращения матриц в моделировании: вычислительные аспекты // VI Всероссийская школа-семинар молодых ученых «Управление большими системами»: Сборник трудов.– Т.1.– Ижевск: ООО Информационно-издательский центр «Бон Анца», 2009.– С. 306-312.
  4. Википедия: «Индекс массы тела». http://ru.wikipedia.org/wiki/Линейность_по_параметрам
  5. Википедия: «Телосложение». http://ru.wikipedia.org/wiki/Телосложение
  6. Википедия: «Псевдообратная матрица». http://ru.wikipedia.org/wiki/Псевдообратная_матрица.
Вид представления доклада  Публикация
Уровень  Основное общее образование

В статусе «Черновик» Вы можете производить с тезисами любые действия.

В статусе «Отправлено в Оргкомитет» тезисы проходят проверку в Оргкомитете. Статус «Черновик» может быть возвращен тезисам либо если есть замечания рецензента, либо тезисы превышают требуемый объем, либо по запросу участника.

В статусе «Рекомендован к публикации» тезис публикуется на сайте. Статус «Черновик» может быть возвращен либо по запросу участника, либо при неоплате публикации, если она предусмотрена, либо если тезисы превышают требуемый объем.

Статус «Опубликован» означает, что издана бумажная версия тезиса и тезис изменить нельзя. В некоторых крайне редких ситуацих участник может договориться с Оргкомитетом о переводе тезисов в статус «Черновик».

Статус «Отклонен» означает, что по ряду причин, которые указаны в комментариях к тезису, Оргкомитет не может принять тезисы к публикации. Из отклоненных тезис в «Черновики» может вернуть только Председатель программного или председатель оргкомитета.